Question

设F1F2分别为椭圆C的左右焦点,过F2的直线l与椭圆C相较于AB

F1，F2分别为椭圆C：X^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的左右焦点,过F2的直线L与椭圆C相交于A，B两点，直线L的倾斜角为60°，F1到直线L的距离为2√3。
1）求椭圆C的焦距
2）如果向量AF2=2向量F2B，求椭圆C的方程

Answer 1

解答：
(1) 解直角三角形
2c=|F1F2|
则 2c*sin60°=2√3
∴ 2c=2√3/(√3/2)=4
(2) 设|F2B|=m,则|AF2|=2m
利用余弦定理
∴ |AF1|²=4m²+16-2*2m*4*cos60°
∴ |AF1|²=4m²+16-8m
∴ |AF1|=2√(m²-2m+4)
∴ |BF1|²=4m²+16-2*2m*4*cos120°
∴ |BF1|²=4m²+16+8m
∴ |BF1|=2√(m²+2m+4)
∴ 2a=|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|
∴ 2a=2√(m²-2m+4)+2m=2√(m²+2m+4)+m
解得 m=5/4，2a=6
∴ a=3
∴ b²=a²-c²=5
∴ 椭圆方程是x²/9+y²/5=1