Question

已知函数f（x）=x^3+ax^2+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l不过第四

象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为根号10／10，若=2／3时，y=f（x）有极值。（1）求a，b，c的值；（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值。

Answer 1

f'(x)=3x^2+2ax+b
f'(2/3)=4/3+4a/3+b=0,
f'(1)=3+2a+b=3
两式相减得：5/3+2a/3=3, 得; a=2，故b=-4
f(1)=1+a+b+c=1+2-4+c=c-1
x=1处的切线方程：y=3(x-1)+c-1=3x+c-4, 不过第四象限，表明c>4
原点到切线的距离=|c-4|/√(1^2+3^2)=(c-4)/√10=√10/10, 得：c=5
所以有a=2, b=-4, c=5

f(x)=x^3+2x^2-4x+5
f'(x)=3x^2+4x-4=(3x-2)(x+2), 极值点为x=2/3, -2
f(2/3)=8/27+8/9-8/3+5=95/27
f(-2)=-8+8+8+5=13
端点f(-3)=-27+18+12+5=8
f(1)=1+2-4+5=4
因此最大值为f(-2)=13, 最小值为f(2/3)=95/27