Question

一道关于数列的数学题

12.0分) 已知数列{an}的首项为a1,前n项和为Sn,且（Sn/n，S(n+1)/(n=1)）点在直线y=x-p上,p为常数,n∈N*. （1） 求数列an的通项公示 （2）当a1=10，且S10是Sn中的一个最大项，试求P的取值范围

Answer 1

解:由于点(sn/n,sn+1/n+1)在直线y=x-p上
则有:
S(n+1)/(n+1)=Sn/n-p
则:
S(n+1)/(n+1)-Sn/n=-p

则：{Sn/n}为公差为-p的等差数列

则:Sn/n=S1/1-p(n-1)
=a1-p(n-1)
则:Sn=a1n-p(n-1)n
=-pn^2+(a1+p)n
=-pn^2+(a+p)n
则：n>=2时，
an=Sn-S(n-1)
=[-pn^2+(a+p)n]-[-p(n-1)^2+(a+p)(n-1)]
=-2pn+(a+2p)
又a1=-2p*1+a+2p=a
则：
an=-2pn+(a+2p)（n属于N*）

(2)
S10=10(a1+a10)/2, a10=-20p+a+2p=-18p+a
=-90p+10
又S9=-72p+9
S11=-110p+11
且S10最大
则：S10＞=S9，S10＞=S11
-90p+10>=-72p+9
1>=18p
p<=1/18
-90p+10>=-110p+11
20p>=1
p>=1/20
故p的范围是[1/18,1/20]

Answer 2

解答如下：

此外，看最大值怎么定义的，如果允许最大值不唯一，最后p的范围就可以取等号。

Answer 3

an=-8+2(n-1)