Question

已知椭圆C:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1(a>b>0)的离心率为三分之根号五，定点M（2,0），椭圆短轴的

端点是B1，B2，且MB1垂直于MB2。
1，求椭圆C的方程；2，。。。

Answer 1

∵B1(0,b)，B2(0,-b)，M(2,0),
∴向量MB1=(-2,b)，向量MB2=(-2,-b),
∵MB1⊥MB2，∴向量MB1·向量MB2=-2×(-2)+b×(-b)=0，
即b²=4，
∵c/a=√5/3，即c=√5a/3
又∵a²=b²+c²,
∴a²=4+5a²/9，解得a²=9,
故椭圆C的方程是x²/9+y²/4=1.

追问

谢了，还有第二问。
设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A,B两点，试问x轴上是否存在定点p，使PM平分角APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

追答

(1)当直线AB⊥x轴时，A、B两点关于x轴对称，
则点P为x轴上任意一点(不与M重合)，都满足PM平分∠APB。
(2)当直线AB的斜率k存在且不为零时，
将直线AB的方程y=k(x-2)代入椭圆方程，得4x²+9k²(x-2)²=36,
即(4+9k²)x²-36k²x+36k²-36=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=36k²/(4+9k²)，x1x2=(36k²-36)/(4+9k²)，
假设存在P(x,0)，使得PM平分∠APB，则直线PA与直线PB的斜率是互为相反数，
即y1/(x1-x)=-y2/(x2-x)，
∵y1=k(x1-2)，y2=k(x2-2)，
∴k(x1-2)/((x1-x)=-k(x2-2)/(x2-x)，
∵k≠0,∴(x1-2)/((x1-x)=-(x2-2)/(x2-x)，
整理得2x1x2-2(x1+x2)-(x1+x2-4)x=0，
∴2(36k²-36)/(4+9k²)-72k²/(4+9k²)-[36k²/(4+9k²)-4]x=0，
-72/(4+9k²)+[16/(4+9k²)]x=0，
∴x=9/2，故存在P(9/2,0)，使得PM平分∠APB。