Question

设x大于等于0,y大于等于0,且x+2y=1/2,求函数P=8xy+4y^2+1的最大值

Answer 1

p=4y(y+2x)+1,考虑用均值不等式，即4/3*3y(y+2x)小于等于4/3*(4y+2x)^2/4=1/3,所以最大值4/3

追问

还是不懂~

追答

利用ab<=(b+a)^2/4

追问

均值不等式 不是 “ 对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号） ”吗？

追答

这不是，这是完全平方式，均值不等式为根号下ab小于等于（a+b）/2

Answer 2

P=-12y^2+4y+1
最大值点在y=1/6处，带入得Pmax=4/3

追问

请问是把第一个式子变形，然后代入二式吗？

追答

恩，这种方法是可以解出来的，不过老师出题的意思可能还是让你用不等式来解，就是他们写的方法

追问

谢谢！

Answer 3

因为 x+2y=1/2 ≤2√2xy
所以 xy≤1/32
当x=2y=1/4时，取得等号
所以x=1/4,y=1/8
所以P的最大值为8×（1/32）+4×(1/64)+1=21/16

追问

第二行怎么算的？

追答

x+2y≤2√2xy（2根号2乘以xy）
x+2y用1/2代替就可以啦！