Question

直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0)

如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是直角三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

易知A(-1,0),B(0,3),C(3,0)
抛物线y=a(x+1)(x-3),B(0,3)在抛物线上
-3a=3
a= -1
y=-(x+1)(x-3)= -x^2+2x+3
对称轴,x=1
当<AQB=90时有,AB^2=AQ^2+BQ^2,Q(1,y)
AB^2=1^2+3^2=10,AQ^2=2^2+y^2,BQ^2=1+(y-3)^2
2^2+y^2+1+(y-3)^2=10,
y^2-3y+2=0
y1=1,y2=2
Q1(1,1),Q2(1,2)
当<ABQ=90时有,AQ^2=AB^2+BQ^2,Q(1,y)
1+(y-3)^2+10=2^2+y^2
y= -8/3
Q3(1,-8/3)
当<QAB=90时有,BQ^2=AB^2+AQ^2,Q(1,y)
2^2+y^2+10=1+(y-3)^2
y= -2/3
Q4(1,-2/3)
综上得,Q1(1,1),Q2(1,2),Q3(1,-8/3),Q4(1,-2/3)

Answer 2

易得A(-1,0)B(0,3)则抛物线方程为:y=-x^2+4x+3
对称轴为x=1
设存在Q(1,y)
用两点的距离公式表示出三条边，再用勾股定理（分类讨论有三种斜边的请况）
望采纳，不懂可追问

Answer 3

要使得三角形ABQ是等腰三角形，有三种情况，。第一种就是以A点为顶点，使得AB=BQ，第二种情况就是要使得BA=BC，最后一种情况就是要使得CB=CA。就是这三种情况。y=3x+3
x=0,y=3
y=0,x=-1
这三点都在抛物线上
(0,3)(-1,0)(3,0)
得对称轴x=2
所以设抛物线方程
y=a(x-1)^2+b
把(0,3)代入得
3=a+b
把(3,0)代入得
0=4a+b
联立解得
a=-1,b=4
解析式y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3由第一题可得的解析式，因为要使得AB=BQ，所以，点Q的坐标就为（1，0）。

且要使得AQ=BQ
2^2+y^2=1^2+(y-3)^2
解得y=1,Q(1,1)