Question

求大神把线性代数梳理一下！。。什么行列式，实对称矩阵，正交等等。。我已经彻底乱了、、、

Answer 1

　　按照我的理解来给你梳理吧：
　　大多数线代的教材（除了虐我的清华版教材之外……），一开头要么讲矩阵，要么讲行列式。矩阵是什么你总明白吧？直观上说就是把数排成一个方块就叫矩阵了。矩阵的每一列呢，又可以看成一个个的向量，所以矩阵又可以看成一排“列向量”组成的东西。
　　A=[a1,a2,...,an],其中a1,a2,...,an都是列向量。
　　既然矩阵可以看成向量组，而向量组是可以讲线性相关和无关的。相不相关的意义你应该懂吧？比方说我们常见的墙角就是由三个不相关（而且是正交）的向量组成的。要是一组向量线性相关了，肯定其中有一个向量，能用别的向量加加减减给表示出来。比方说我在平面上随便画三个向量，它们肯定是相关的。因为平面的维数只有两维，最多只有两个不相关的向量。
　　现在说回到矩阵。我们说矩阵是由一组列向量构成的。如果这些列向量不相关呢，就说矩阵满秩了。什么叫秩呢？就是说你从一堆向量里边，最多选出多少个，保证它们不相关。这个“最多选出多少个”就叫做向量组的秩，同样也可以叫矩阵的秩。
　　矩阵满秩是有很多好处的。要是碰巧是一个满秩的方阵（就是长度等于宽度啦），就更好了，我们就说这个矩阵可逆了。可逆有什么好处呢？比方说，我们常见的代数方程Ax=b就肯定有唯一解x=A^-1 b了。另一方面，矩阵又可以看成一个“线性映射”，比方说刚才那个Ax=b，你可以看成我用矩阵A把一个向量x变换成了向量b。映射懂不懂？映射就是函数，线性映射就是线性的函数。如果一个矩阵可逆的话，这个映射就能保证，对每一个向量b，都能找到唯一的原象x。
　　可逆既然那么好，我们怎么判断一个矩阵是否可逆呢？答案就是行列式。行列式是一种运算，给我一个方矩阵，我就能算出一个数。如果这个数是零，说明矩阵不可逆；如果这个数不是零，矩阵就可逆了。行列式的运算方法比较复杂，还有很多技巧，自己去看书吧。行列式的几何意义，是矩阵的那些列向量组成的多面体的体积。比如说在两维平面上，行列式就是两向量组成的平行四边形的面积，要是它们相关，就是共线了，那么这个平行四边形面积肯定是零，很容易理解吧？
　　然后一般的书应该开始讲特征值了。特征值是什么东西？就是Ax=cx，c是一个常数（书上一般用lamda，但我打字不方便，就先用c）。这个c叫做特征值，满足这个方程x叫做特征向量。求一个给定矩阵的特征值与特征向量的方法，书上都有，而且基本是固定的，自己去看。
　　为啥要求矩阵的特征值呢？刚才说了，矩阵可以看作是一个线性变换，把一个X空间中的向量映到Y空间上。对于同一个映射，我在X当中取一组基（就是像墙角一样的东西），在Y中取一组基，那么就能算出一个矩阵A。如果取不同的基，算出的矩阵就不同，但是，这些矩阵都是相似的！比如说A和B相似，就会有A=C*B*C^-1，C是个正交阵。什么是正交？简单地说就是这个阵的逆就是它的转置，或者说这个阵的列向量都是彼此正交的（内积为零），通俗地说还是墙角所以没事就多盯着墙角看看吧少年。那么我们就想问，怎么取这两组基，会使得矩阵的形式最简单呢？答案就是相似标准形，就是我们说的对角化的过程。
　　可以证明，实对称矩阵都是可对角化的（所以实对称阵真的很好啊）。你说什么叫实对称？呃，就是“实”的，而且“对称”（A=A^T)的呗……这种矩阵在二次型当中很常用的。所以给一个实对称阵A，我们总能求它的相似标准型（也就是对角化啦），最后算出一个A=B*C*B^-1，C是个对角的，其对角元是A的特征值。是不是随便给一个矩阵都能对角化？答案是否定的。世界当然没那么美好，人生总是充满了缺憾。
　　我觉得一般的线代书讲到这个程度就差不多了，某些深一点的书还会讲相合变换。要是有什么不明白的地方，欢迎追问。