Question

高中几何问题求步骤

ABCDEF为边长为8的正六边形，现在沿对角线BE折起，使cos＜ABC＝1/4，在BE取点P，使面PAC//DEF,（1）.求BP/PE. （2）.求五面体ABCDEF的体积

Answer 1

解：连接AC、FD、AP、CP。
∵面PAC//DEF
∴AP//EF
又∵没有沿对角线BE折起时，ABCDEF为边长为8的正六边形
∴AF//BE//CD、AB=BC=CD=DE=EF=AF=8
∴四边形APEF与四边形ACDF都是平行四边形、∠ABE=∠CBE=180°-120°=60°、∠FEB=∠DEB=180°-120°=60°
∴PE=AF=8、AP=EF=8、 AC=DF
∴△ABP是等边三角形
∴BP=AB=8
∴BP/PE=8/8=1
过点A作直线AN垂直BE于点N、过点F做直线FM垂直BE于点M、并连接CN、DM
∴△ABN与△CBN是全等三角形 、△FEM与△DEM是全等三角形 、
AN//FM 、BN=AB*cos∠ABE=4 、EM=EF*cos∠FEB=4
∴CN=AN=ABsin∠ABE=8*（√3）/2=4√3 、 DM=FM=FEsin∠FEB=8*（√3）/2=4√3 、∠CNB=∠ANB=90° 、∠DME=∠FME=90°
∴BE垂直于平面ANC 与平面FMD 、CN//DM
∴平面ANC与平面FMD平行 、AF⊥AC
∴四边形ACDF与四边形ANMF与四边形CNMD都是矩形
∴AN=FM 、CN=DM
∴△ANC与△FMD是全等三角形
又∵cos∠ABC=1/4
∴DF=AC=√（AB²+BC²-2*AB*BC*cos∠ABC）=4√6、
∴AN²+CN²=AC²
∴∠ANC是直角
∴S△FMD=S△ANC=1/2*AN*CN=24
∴菱形B-ANC的体积=1/3*S△ANC*BN=32
菱形E-FMD的体积=1/3*S△FMD*EM=32
三菱柱ANC-FMD的体积=S△ANC*AF=24*8=192
∴五面体ABCDEF的体积=菱形B-ANC的体积+菱形E-FMD的体积+三菱柱ANC-FMD的体积=256
（基础扎实的话可以省略或简化一些步骤）