Question

设A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组AX=β的通解为(1,1,1,1)T+k(1,-1,0,2)T，其中k为任意常数。

（1）α1能否由α2,α3,α4线性表示？
（2）α3能否由α1,α2,α4线性表示？
求助啊老师！谢谢。

Answer 1

由已知 (1,-1,0,2) 是 Ax=0 的解
所以 α1-α2+0α3+2α4 = 0
(1)可以 α1 = α2-2α4
(2)不可以. 否则, 若α3能由α1,α2,α4线性表示
由(1)知α3能由α2,α4线性表示
则 r(A)<=2
Ax=0 的基础解系所含向量的个数 n-r(A)>=4-2=2
与已知Ax=0 的基础解系所含向量的个数为1矛盾.

Answer 2

依题意(1,-1,0,2)T是齐次线性方程组AX=0的解，
∴α1-α2+2α4=0，
（1）α1=α2-2α4，能由α2,α3,α4线性表示；
（2）α3不能由α1,α2,α4线性表示.

Answer 3

假设χ1=(x1,x2,x3,x4),χ2=(x1',x2',x3',x4')分别是AX=B的两组不相等的解
Aχ1=β (1)
Aχ2=β (2)
(1)-(2)得到
A(χ1-χ2)=0
而χ1-χ2=((1,1,1,1)T+k1(1,-1,0,2)T)-((1,1,1,1)T+k2(1,-1,0,2)T)=(k1-k2)(1,-1,0,2)T
因为k1,k2为任意常数，不妨设k0=k1,k2为任意常数，χ0=χ1-χ2
因此得到齐次线性方程组AX=0的通解χ0=k0*(1,-1,0,2)T
带入方程组得
(α1,α2,α3,α4).k0*(1,-1,0,2)T=0,
α1-α2+2*α4=0

因此
（1）α1可以由α2,α3,α4线性表示，α1=α2-2*α4
（2）α3不能由α1,α2,α4线性表示