Question

关于命题逻辑

离散数学p7有个表1.1联结词的定义。按这个表实际操作起来却很奇怪。比如p北京人口比天津多q2加2等于4r乌鸦是白色。（非pVr）<-->（p/\非r）的真值答案是一。但是想不通。如果说非p为0，r为1，那前个括号按表中pVq应该为1后面为1整个命题结果应该为1。总之问题是这道题还怎么算，表的第二列非p是什么意思？是非p和q吗？还有复合命题中的非怎么运算。谢谢了

Answer 1

你应该知道 “常量” 与 “变量” 的关系吧？从小学的 “算数” 到中学的 “代数” 就是将研究对象从常量升级到了变量。当然，这都是关于 “数” 的。
　　其实任何量，都有常量、变量之分，包括命题。严格来说，逻辑上的命题仅指 “命题常量”—— 能判断真假的句子叫做命题。如：2 = 2 是命题；x = 2 就不是命题。但是，在数理逻辑中，我们研究的更多的确实 “命题变量”（或叫做命题变元）。所谓命题变量，就是其取值范围为集合｛真、假｝（或｛1，0｝）的变量——即有真、假之说，但真、假未知。

　　你的图太小，看不清。不过你的问题不难解释。根据你的描述，命题 p、q、r 其实都是命题常量，其取值为：p = q = 1，r = 0。那么你给出的命题公式，其实就是一个 “常量表达式”，类似与小学中的算式——逻辑连接词，可看作是 “运算符”。那么它的结果肯定是可求的。就像你所说，计算过程为：
　　（¬1 ∨ 0）↔（1 ∧ ¬0）=（0）↔（1）= 0。
作为一个计算题，这是很简单的。不过就像前面所说，逻辑真正研究的不是具体的命题常量，而是命题变量之间的关系。

　　提到变量，自然就想到函数。其实，命题公式就是以命题变元为自变量的多元函数（的解析式）。而真值表，就是这个函数的 “图像” —— 指明了 “全部自变量的每一种取值组合” 下，函数的取值情况。我想，这也是你觉得你的表达式（¬p ∨ r）↔（p ∧ ¬r）= 1 看似不合理的原因所在 —— 这其实就是 “函数” 与 “函数值” 的区别：
　　函数：　F（p，r）=（¬p ∨ r）↔（p ∧ ¬r）；
　　函数值：F（1，0）=（¬1 ∨ 0）↔（1 ∧ ¬0）=（0）↔（1）= 0；
显然，根据 p、r 的不同取值组合，我们也可以得到其他的函数值；而自变量d 全部取值组合时的函数值，就构成了 “真值表”。

　　从数学的角度看，命题公式又很类似代数里的 “多项式”。代数中，研究多项式的因式分解、等价变换等性质，都是把式子中的字母当作变量来处理的。现在，我们研究命题公式的各种性质，也要用变量的角度来看。
　　对于用变量构成的命题公式（或代数式），它们的每一次形式转化，都是 “恒等式”。即对公式中，所有变量的各种取值组合，等式恒成立。

　　对于逻辑连接词，我们最熟悉、也最好理解的是：且（合取）、或（析取）、非（否定）。其他连接词（如：条件、双条件）都可以转换为这三种的形式。
　　p → q ≡ ¬p ∨ q；
　　p ↔ q ≡ （p ∧ q）∨（¬p ∧ ¬q）；
这些都是恒等式，用真值表就可以证明。你早晚会学到的——包括复合命题中的非运算：
　　非运算，是一种 “一元运算符”，即：用它进行计算的量，只有一个。可以是单个的变量（或常量），也可以是一个命题公式。非的作用就是：将它所关联的量的取值结果，取反。对于常量（或常量表达式），其结果也是可知的，也是常量。对于变量（或命题公式），其结果是未知的，也是变量。对于非，也有一些常用的恒等式：
　　¬（p ∨ q）≡ ¬p ∧ ¬q；
　　¬（p ∧ q）≡ ¬p ∨ ¬q；
这就是著名的 “德摩根律”，有点像 “乘法分配律” 吧！只是 “非” 把去括号后的运算符，也取 “反” 了。

　　根据上面几个恒等式，我们可以化简你给的命题表达式：
（¬p ∨ r）↔（p ∧ ¬r）
= [（¬p ∨ r）∧（p ∧ ¬r）] ∨ [ ¬（¬p ∨ r）∧ ¬（p ∧ ¬r）]
= [（¬p ∧ p ∧ r）∨（r ∧ p ∧ ¬r）] ∨ [（p ∧ ¬r）∨（¬p ∨ r）]
= [（0）∨（0）] ∨ [（p ∧ ¬r ∧ ¬p）∨（p ∧ ¬r ∧ r）]
= [0] ∨ [（0）∨（0）] ]
= 0；
其实，仔细观察可以看出：
　　¬（¬p ∨ r）=（p ∧ ¬r）；
即：前后两个子表达式，取值总是相反的。所以，这个 “双条件”式永远不成立，即其取值恒为 0。这种命题公式，叫做 “矛盾式”。