Question

若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b）

若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]叫做等域区间．
（1）已知f(x)=x 12是[0，+∞）上的正函数，求f（x）的等域区间；
（2）试探究是否存在实数m，使得函数g（x）=x2+m是（-∞，0）上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)f(x)表达式不明确。以f(x)=x^2为例说明
令x^2=x（x≥0）
则x=0或x=1
而f(0)=0，f(1)=1
显然当x∈[0，1]时f(x)∈[0，1]
所以f(x)的等域区间为[0，1]

(2)注意到当x∈(-∞，0]时g(x)为减函数

若m≥0，则g(x)≥0
显然当x∈(-∞，0]上g(x)不可能是正函数

若m<0，则g(x)与x轴交于不同两点
令x^2+m=0，则x轴负半轴的交点为x=-√(-m)
显然在区间x∈[-√(-m)，0]上g(x)∈[m，0]
令-√(-m)=m，即m=-1（注意到m<0）
表明存在m=-1，使得当x∈[-1，0]时g(x)∈[-1，0]
即表明g(x)在区间x∈(-∞，0]上为正函数

Answer 2

（1）比较简单，自己求一下就可以了
（2）
因为函数g（x）=x2+m是（-∞，0）上的减函数，
所以当x∈[a，b]时，
g（a）=b g（b）=a 即a2+m=b，b2+m=a，
两式相减得a2-b2=b-a，
即b=-（a+1），
代入a2+m=b得a2+a+m+1=0，
由a＜b＜0，
且b=-（a+1）
得-1＜a＜- 1/2，
故关于a的方程a2+a+m+1=0在区间（-1，- 1/2）内有实数解，
记h（a）=a2+a+m+1，
则 h（-1）＞0，h（- 1/2）＜0，
解得m∈（-1，- 3/4）．
故m的取值范围为：（-1，- 3/4）