Question

定义：函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）

定义：函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数。若函数g(x)=1/m-1/x(m＞0)是(0,+∞)上的正函数，则m的取值范围为多少？
答案是(0,1/2)，求过程

Answer 1

答：
g(x)=1/m-1/x，m>0是（0，+∞）上的正函数
则存在[a,b]∈（0，+∞）使得g(x)的值域为[a,b]
所以：b>a>0
因为：g(x)=1/m-1/x是单调递增函数
所以：
g(a)=1/m-1/a=a
g(b)=1/m-1/b=b
两式相减：
b-a=1/a-1/b=(b-a)/(ab)>0
所以：ab=1
所以：
1/m=a+1/a>=2√(a*1/a)=2
当且仅当a=1/a即a=1时取得最小值2
因为：a=1时，b=1/a=1
不符合b>a
所以：1/m>2
所以：0<m<1/2

所以：m的取值范围是（0，1/2）

Answer 2

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