Question

已知P(m，a)是抛物线y＝ax²上的点，且点P在第一象限。

已知P(m，a)是抛物线y＝ax²上的点，且点P在第一象限。 直线y＝kx＋4过点P，交x轴的正半轴于点A，叫抛物线与另一点M 记三角形MOA的面积为S，求1/S的最大值

Answer 1

∵点P在第一象限 ∴m＞0，a＞0
∵P(m，a)是抛物线y＝ax²上的点 ∴a=am², 即：m=1，
∵直线y＝kx＋4过点P ∴a=k+4 即：k=a-4
解方程组：y＝ax²和y＝（a-4）x＋4 得：x=1，y=a或x=-4/a，y=16／a
（这一步有难度，要因式分解）
∵ 直线y＝kx＋4交x轴的正半轴于点A ∴当y=0时，x=4／（4-a）
∴S=½×4／（4-a）×16／a=32／（4a-a²）
∴1/S=（4a-a²）／32=-（a²-4a+4-4）／32=-[﹙a-2﹚²+4]／32
∴当a=2时，1／S有最大值=1／8

Answer 2

kx + 4 = ax^2
ax^2-kx-4 = 0，
m = 1
a = k + 4
直线与抛物线交点为：（1,a）(-4/a, 16/a)
与x轴交点：x = -4/k ，正半轴则k < 0，a-4<0
当0<=a<4,即k>-4
面积S = (1/2) * (-4/k) * (16/a) = - 32 / (k^2 + 4k)，
1/S = - (k^2 + 4k)/32，即求k^2 + 4k的最小值：当 k = -2，1/S = 1/8
当a<0,即k<-4
面积S = -(1/2) * (-4/k) * (16/a) = 32 / (k^2 + 4k)，
1/S = (k^2 + 4k)/32
没有最大值。

Answer 3

1）m2a=a（a＞0），
m2=1（m＞0），
即m=1；

（2）①b=2a，y=kx+2a，
P在直线上，则a=k+2a，即a=-k（k＜0）
则kx+2a=0，即x=-2ak=-
-2kk=2，
A（2，0）
-kx2=kx-2k⇒x2+x-2=0⇒（x+2）（x-1）=0，x=-2或x=1
M（-1，a）
∠OPA=90°
即a2=1，a=1
k=-1，y=-x-2，y=x2
P（1，1）
故当a=1时，∠OPA=90°成立，即当a＞0且a≠1时，∠OPA=90°不成立；

②当b=4时，直线y=kx+b即为直线y=kx+4，
kx+4=0⇒x=-4k
又因为直线y=kx+4过点P（1，a），
所以k+4=a⇒k=a-4，
（a-4）x+4=ax2
即ax2-（a-4）x-4=0
即（ax+4）（x-1）=0
∴S=44-a•16a•12=324a-a2
1S=18a-132a2=-132（a-2）2+18，
∴当a=2时，1Smax=18．