Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足

A，B，C三点满足向量OC=1/3向量OA+2/3向量OB(1)求证:A、B、C三点共线(2)已知A(1,cosx)、B(1+sinx,cosx),x属于[o,π/2],f(x)=向量OA点乘向量OC-(2m^2+2/3)点乘I向量ABI的最小值为1/2,求实数m的值

Answer 1

解：∵（1）OC=
13OA+
23OB，∴AC=OC-
OA=-23OA+23OB，AB=OB-
OA，…（1分）
∴AB=23AC …（4分），∴AC∥AB，即A，B，C三点共线． …（5分）
（2）由A(1，cosx)，B(1+sinx，cosx)，x∈[0，
π2]，…（6分）
∵AB=(sinx，0)，∴|
AB|=
sin2x=sinx，…（7分）
从而f(x)=
OA•
OC-(2m2+
23)•|
AB|=1+
23sinx+cos2x-(2m2+
23)sinx． …（10分）
又x∈[0，
π2]，则sinx∈[0，1]，
当0≤m2＜
12时，f（x）的最小值f(
π2)=-(1+m2)2+m4+2=
12．∴m2=
14，∴m=±
12． …（12分）
当m2≥
12时，f（x）的最小值f(0)=-(0+m2)2+m4+2=
12．∴m无解，
综上，m=±
12．