Question

已知数列{an}的首项a1=5,前n项和Sn。且S(n+1)=2Sn+n+5(n属于N*）

（Ⅰ）求证：{an+1}是等比数列
（II）求数列{an}的通项公式

Answer 1

（1）由已知得 S(n+1)+[(n+1)+6]=2[Sn+(n+6)] ，
因此数列 ｛Sn+n+6｝是首项为 S1+1+6=a1+1+6=12 ，公比为 2 的等比数列，
因此 Sn+n+6=6*2^n ，
当 n>=2 时，an=Sn-S(n-1)=(6*2^n-n-6)-[6*2^(n-1)-(n-1)-6]=3*2^n-1 ，
且 n=1 时也适合 ，
因此通项为 an=3*2^n-1 。
而 an+1=3*2^n ，a(n-1)+1=3*2^(n-1) ，
所以 (an+1)/[a(n-1)+1]=2 ，因此，｛an+1｝是首项为 6 ，公比为 2 的等比数列。
（2）由（1）得 an=3*2^n-1 。

Answer 2

你好

S(n+1)=2Sn+n+5
S(n+1)+n+7=2Sn+n+5+n+7
S(n+1)+（n+1）+6=2（Sn+n+6）
S1+1+6=12
数列{Sn+n+6}是一个首项是12，公比是2的等比数列
Sn+n+6=12*2＾（n-1）
Sn=12*2＾（n-1）-n-6
an=Sn-S（n-1）=12*2＾（n-1）-n-6-[12*2＾（n-2）-（n-1）-6]
=6*2＾（n-1）-1
an+1=6*2＾（n-1）
{an+1}是一个首项是6，公比是2的等比数列
an=6*2＾（n-1）-1

【数学辅导团】为您解答，不理解请追问，理解请及时选为满意回答！(*^__^*)谢谢！

Answer 3

.因为S(n+1)=2Sn+n+5
所以a(n+1)=Sn+n+5
所以a(n)=S(n-1)+n-1+5
所以a(n+1)-a(n)=a(n)+1
等价于式：(a(n+1)+1)=2*(a(n)+1),
所以{a(n)+1}是首项是a1+1=6,q=2的等比数列
an+1=6*2^(n-1)=3*2^n
a(n)=3*2^n-1