Question

如图,圆O是三角形ABC的外接圆,AB是直径,OD平行AC,且角CBD等于角BAC,OD交圆O于点E

（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；
（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求FG\FC的值．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°。
∴∠ABC+∠BAC=90°。
又∵∠CBD=∠BAC，
∴∠ABC+∠CBD=90°。
∴∠ABD=90°。
∴OB⊥BD。
∴BD为⊙O的切线。
（2）证明：如图，连接CE、OC，BE，
∵OE=ED，∠OBD=90°，
∴BE=OE=ED。
∴△OBE为等边三角形。
∴∠BOE=60°。
又∵OD∥AC，
∴∠OAC=60°。
又∵OA=OC，
∴AC=OA=OE。
∴AC∥OE且AC=OE。
∴四边形OACE是平行四边形。
而OA=OE，
∴四边形OACE是菱形。
（3）OB=1/2AB
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=∠OBD=90°。
又∵OD∥AC，
∴∠CAF=∠DOB。
∴Rt△AFC∽Rt△OBD
∴ FC/BD=AF/OB，即FC/BD=AF/（1/2AB）=2AF/AB 。……（1）
又∵FG∥BD
∴△AFG∽△ABD。
∴ FG/BD=AF/AB……（2）
∴FC/FG=2
即FG/FC=1/2

Answer 2

能不能在（3）问中证得AF等于FG？