Question

线性代数：三阶矩阵A的特征值全为0 则A的秩为

Answer 1

特征值全为零的矩阵秩不一定为0。r(A)≥非零特征值个数。

如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立了。

条件得到：

AX1=0，AX2=0，AX3=0。

X1，X2，X3为方程。

AX=0的三个无关解。

所以秩为0，所以A为三阶的0矩阵。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

Answer 2

条件得到
AX1=0，AX2=0，AX3=0
X1，X2，X3为方程
AX=0的三个无关解
所以秩为0，所以A为三阶的0矩阵

追问

为什么x1 x2 x3是三个无关的解呢？

追答

特征值定义

Answer 3

特征值全为零的矩阵秩不一定为0。r(A)≥非零特征值个数。
如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立了。

Answer 4

秩小于3，就是可以取0,1,2

Answer 5

根据定义，秩等于非0特征值的个数。
特征值全为0则秩为0

追问

这条定义是对于什么样的矩阵而言的？即满足这条定义的矩阵需要满足什么条件？

追答

所有的方阵都满足