Question

初三数学 在△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,∠EAF=∠B.

(1)求证：△ABF∽△ECA；
(2)若BE:EF:FC=4:2:1，AE=5，求AF的长.
详细过程

Answer 1

（1）∵AB=AC
∴∠ABF=∠ACE
∵∠AEF=∠ABE+∠BAE,∠ABF=∠EAF
∴∠AEF=∠EAF+∠BAE=∠BAE
同理：∵∠AEF=∠FAC+∠ACE,∠ABF=∠ACE=∠EAF
∴∠AFE=∠FAC+∠EAF=∠EAC
∴在△ABF与△ECA中
∠ABF=∠ACE
∠AEF=∠BAE
∠AFE=∠EAC
∴△ABF∽△ECA
（2）∵△ABF∽△ECA
∴AB／EC＝BF／AC＝AF／AE
∵BE:EF:FC=4:2:1 ，AB=AC
∴AC／3＝6／AC
∴AC=3倍根号2
∴6／3倍根号2=AF／5
∴AF=5倍根号2

Answer 2

AFB=EFA,EAF=B,得△AFB∽△EFA→BAF=AEF
AB=AC,得B=C。BAF=AEC→△ABF∽△ECA

(2)设FC=x,则BE=4x,EF=2x
△AFB∽△EFA △ABF∽△ECA→△EFA∽△EAC→EF/EA=EA/EC→x²=25/6

△AFB∽△EFA→AF/EF=FB/FA→AF²=EF FB=12x²=50→AF=5√2

Answer 3

Answer 4

证明：
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵∠EAF＝∠C
∴∠EAF＝∠C＝∠B
∵∠AFE＝∠BFA
∴△AEF相似于△BAF
∴AE/AF＝AB/BF
∵∠AEF＝∠CEA
∴△AEF相似于△CAE