Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD

（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD

Answer 1

本题较简单。具体解题过程如下：
(1) 连接OC，根据∠OEA=∠OEC=90º，OC=OA，OE=OE可知△OEA≌△OEC
所以∠DOA=∠DOC
∴弧AD=弧DC
∴∠DBC=∠DBA
∴BD平分∠ABC

(2) ∵AB是⊙O的直径
∴∠BCA=90º
∴∠BCA=∠OEA
∴BC∥OD
∴∠ODB=∠DBC
∴∠DBC=30º
由题（1）结论知：∠DBC=∠DBA
∴∠ABC=∠DBC+∠DBA=30º+30º=60º
又∵OC=OB
∴△OBC是正三角形
∴BC=OB=OD

Answer 2

（1）证明：
∵∠C=90°
∴CB⊥AC
∵AC⊥OD
∴BC∥OD
∴∠CBD=∠BDO
∵OD=OB
∴∠DBO=∠BDO
∴BD平分∠ABC

第二个实在想不到了……

Answer 3

解:(1)因为角c=90度，所以Bc垂直于Ac，所以0D平行于Bc，所以角0DB=角cBD=角DB0，即BD平分角ABc (2)连接c0，由(1)得角DB0=角0DB=角cBD=30度，所以角cB0=60度 又c0=B0 所以三角形cB0为等边三角形 所以Bc=0D

Answer 4

1、OD是AC的垂直平分线，故AE=CE,弧AD=弧CD，故角CBD=角DBA，
2、连CD，证明BCDO是平行四边形即可。具体什么定律忘了