Question

已知函数f(x)=ax的三次方+bx的平方+cx是R上的奇函数，且f(1）=2，f(2)=10（1）求函数解析式

（2）定义证明f(x)在R上是增函数
（3）若关于x的不等式f(x^2-4)+f(kx+2k)<0在x属于（0，1）上恒成立，求k的取值范围特别是第三问怎么求的

Answer 1

(1)
f(x)=ax的三次方+bx的平方+cx是R上的奇函数
∴f(-x)=-f(x)
即-ax³+bx²-cx=-ax³-bx²-cx=0
∴2bx²=0恒成立
∵x是变量，b是常量
∴常量b=0
∴f(x)=ax³+cx
∵f(1)=2,f(2)=10
∴a+c=2,8a+2c=10
∴a=1,c=1
f(x)=x³+x
(2)
设x1<x2
f(x1)-f(x2)
=x³1+x1-x³2-x2
=(x³1-x³2)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x²1+x1x2+x²2)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x²1+x1x2+x²2+1)
=(x1-x2)[(x1+x2/2)²+3/4x²2+1]
∵x1-x2<0, (x1+x2/2)²+3/4x²2+1>0
∴(x1-x2)[(x1+x2/2)²+3/4x²2+1]<0
即f(x1)<f(x2)
∴f(x)是R上的增涵数
（3）
不等式f(x^2-4)+f(kx+2k)<0
即f(x²-4)<-f(kx+2k)
即f(x²-4)<f(-kx-2k) (奇函数）
即x²-4<-k(x+2) (f(x)增函数）
即(x+2)(x-2)<-k(x+2)对x∈(0,1)恒成立
∵x+2>0
只需x-2<-k，
即 k<2-x 恒成立
∵0<x<1
∴ 1< 2-x<2
∴k≤1
即k的取值范围是(-∞,1]