Question

一道解析几何！！！急！！！

三角形ABC的外接圆R=14根号3/3，角ABC=120，BC=10，弦BC在x轴上且被y轴垂直平分， 1。求三角形ABC外接圆的标准方程 2.求过点A且以B,C为焦点的椭圆方程

Answer 1

解：（1）设圆心D（0，d).连接CD
题意得 OC=1/2BC=5 CD=14根号3/3，勾股定理得OD=11根号3/3
故圆的方程：x²+（y-11根号3/3)²=196/3
（2）作AF⊥x轴于F。则∵∠ABC=120°∴∠BAF=30°∴AB=2BF，AF=根号3BF。设BF=a，那么AF=根号3a。∴A(-5-a，根号3a）
∴25+10a+a²+3a²-22a+121/3=196/3 a=3(0舍去）∴A(-8，-3根号3）
设椭圆x²/m+y²/n=1（m>n>0)
∴m-n=25 64/m+27/n=1
解得m=100 n=75(-9舍去）
故椭圆：x²/100+y²/75=1

Answer 2

解：圆心在BC的垂直平分线即y轴上，设为D(0，d)，d＞0，BC=10，
则 B(-5，0)，C(5，0) BD=R=14根号3/3 d=11根号3/3
圆的方程为 x²+(y-11根号3/3)²=196/3 ①
由∠ABC=120°，得 AB的斜率为-根号3 方程为y=-根号3(x+5) ②
联立方程①②，可得 第二象限A点 坐标为(-8，3根号3)
AB+AC=2a=20 BC=2c=10 b²=a²-c²=75
过点A且以B,C为焦点的椭圆方程为 x²/100+y²/75=1

Answer 3

解：由正弦定理得 |AC|/sin120°=2R，
所以|AC|=2×14√3/3×(√3/2)=14，
由余弦定理得|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2|AB||BC|cos∠ABC，
即|AB|^2+10|AB|-96=0，
解得|AB|=6，
依题意设双曲线的方程为 x^2/a^2-y^2/b^2=1，
则|BC|=2c=10，|AC|-|AB|=2a=14-6=8，
所以c=5，a=4，
则b^2=c^2-a^2=9，
因此所求双曲线的方程为:
x^2/16-y^2/9=1．