Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF分别是BB1和CD的中点，建立以DD1为Z轴，DA为x轴，DC为y轴的直角坐标系

（1）证明AD垂直D1F
（2）求AE与D1F所成的角
（3）证明面AED垂直面A1D1F

Answer 1

有图吗？有图吗？有图吗？

追问

图有点丑，但是应该能看出来吧

追答

解：（1）首先 AD垂直于平面CDD1C1（这是正方体的性质）
所以AD垂直于DF（因为DF属于平面CDD1）
取CC1的中点 设为G
AE平行于DG 所以 只要证明D1F垂直于DG 则命题得证
现在来证明D1F垂直于DG ：
首先 由于都是中点 由边的相互比例
有 三角形DD1F相似于三角形CDG
所以角DGC等于角D1FD
设DG和D1F的交点为H
则有角DHF等于角DCG 于是角DHF是直角
于是D1F垂直于DG

证明：∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1 ，又D1F⊂面DC1，
∴AD⊥D1F．
（2）证明：由（1）知AD⊥D1F，由题意得 AE⊥D1F，
又AD∩AE=A，∴D1F⊥面AED，
又D1F⊂面A1FD1，∴面AED⊥面A1FD．
（3）取AB的中点G，连接GE、GD，∵体积VE-AA1
F 1
=VF-AA1E，又FG⊥面ABB1A1，
三棱锥F-AA1E的高FG=AA1=2，∴VE-AA 1 F=VF-AA 1 E=
1
3
•FG•S△AA 1 E=
1
3
×2×(
1
2
×2×2)=
4
3 ．

追问

可以用向量法解答吗，比较容易理解

追答

以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，使A、C、D1落在坐标轴的正半轴上。
∵ABCD－A1B1C1D1是长为1的正方体，
∴D（0，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）。
由中点坐标公式，有：E（0，0，1/2）、F（1/2，1/2，0）。
∴向量EF＝（1/2，1/2，－1/2）、向量CF＝（1/2，－1/2，0）。
∴向量EF·向量CF＝1/4－1/4－0＝0，∴EF⊥CF。

追问

这个，ABCD为底面，DD1为z轴。应该是B（1，1，0）
而且EF不⊥CF，也不是所求的

追答

这是什么时候的问题？

追问

09年理科期末试题，人教版

Answer 2

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