Question

高一数学题求解！

如图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点，现在沿DE,DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起使A,B,C三点重合，重合后的点记为P。

若正方形的边长为a，则这个几何体的体积为多少？

Answer 1

该几何体为四面体（三棱锥）
可以看做以△PEF（即BEF）为底
AD，CD，分别垂直于AE和CF，折叠时AD与AE仍在一个平面，AE与BE重合，所以折叠后AD垂直于BE，而AB重合于P，所以PD垂直于PE，同理可证PD垂直于PF
所以PD垂直于△PEF所在平面，即为该三棱锥的高。
由三棱锥体积公式V = 1/3 S h
S = 1/2 x 1/2a x 1/2 a
h = a
V = 1/3 x 1/2 x 1/2a x 1/2 a x a
= 1/24 a³

Answer 2

取EF中点M，连接DM，PM
由题意可知，DE=DF，BE=BF（B折叠后变为P）
所以BM垂直EF，DM垂直EF
所以面DMP垂直于面DEF
过P作PH垂直于DM
所以PH垂直于面DEF
DP=a，PM=√2a/4，DM=3√2a/4
所以S（三角形DMP）=√2a^2/8
PH=1/3
所以V=1/3*1/2(DM*EF)*PH=a^3/24

Answer 3

1/24 * a*a*a 解析：∠EBF ∠EAD ∠DCF 都是直角 可以把三角形EBF作为地面 高就是AD（CD） 那么体积就是地面积 * 高 / 3 ；即： 1/3 * [a/2 * a/2 / 2） * a]

Answer 4

很显然，折叠后PD,PE,PF两两垂直，用底面积乘高再乘三分之一：
1/3乘以(1/8)a^2乘以a得（1/24)a^3

Answer 5

因为这个几何体的∠EPF(原∠B)、∠DPE(原∠A)、∠DPF(原∠C)都是直角
所以其体积是：
V=(1/3)*[(1/2)*PE*PF]*PD
=(1/6)*a/2*a/2*a
=a^3/24