Question

已知指数函数y=g(x)满足;g(2)=4,定义域为R上的函数f(x)=(-g(x)+n)/(2g(x)+m)是奇函数

（1）确定y=g(x)和y=f（x）的解析式

2.判断y=f（x)在R上的单调性并用单调性定义证明
3.若方程f（x）=b在（负无穷，0）上有解，使证-1＜3f（b）＜0

Answer 1

⑴

由已知：g（2）＝4，且g（x）为指数函数

故设g（x）＝a ª

带入数据，得：a＝2

故g（x）＝2 ª

∴f（x）＝（－2 ª ＋n）／（－2 • 2ª ＋m）

又f（x）为奇函数

故有f（0）＝0

所以n＝1

当x＝1时，f（x）＝1／（m－2）

当x＝－1时，f（x）＝1／（2m－1）

又f（x）＝f（－x）

所以1／（m－2）＝1／（2m－1）

解得：m＝1

所以f（x）＝（－2 ª＋1）／（2 • 2 ª＋1）

⑵

设x1、x2是定义在R的任意两数，

且0＜x1＜x2

则f（x1）－f（x2）＝2 ª²－2 ª¹

即f（x1）－f（x2）＞0

所以f（x）为减函数

（3）

当x∈（－∞，0），f（x）＝（－2ª＋1）／（ 2ª＋1）

f（x）＝－1＋2／（2 ª＋1）

∵x∈（－∞，0）

∴0＜－1＋2／（2 ª＋1）＜1

即0＜f（b）＜1

又f（x）为减函数

∴f（1）＜f（b）＜f（0）

而f（1）＝－1／3　　f（0）＝0

所以－1／3＜f（b）＜0

即－3＜f（b）＜0