Question

已知抛物线顶点在原点，焦点在X轴上，且过点P（2,8），又设A（x1，y1），B（x2，y2）两点均在抛物线上，且

三角形PAB的重心与抛物线焦点F重合。
（1）求抛物线方程
（2）求线段AB中点M的坐标
（3）求直线AB方程

Answer 1

（1）依题意设抛物线方程为y²=2px，将点P（2，8）代入，求得p=16，进而所求的抛物线方程为y²=32x。
（2）易求得抛物线焦点坐标F（8，0），因为三角形PAB的重心与抛物线焦点F重合，由重心坐标公式得
(2+x1+x2)/3=8，
(8+y1+y2)/3=0
化简得x1+x2=22，y1+y2= -8
变形即得(x1+x2)/2=11，(y1+y2)/2= -4
也即线段AB中点M的坐标为（11，-4）。
（3）因为A（x1，y1），B（x2，y2）两点均在抛物线上，所以
y1²=32x1
y2²=32x2
结合上一问得出的x1+x2=22，y1+y2= -8
四个方程联立解方程组得
x1=11-√21，y1= -4+4√21，x2=11+√21，y2= -4-4√21，
或x1=11+√21，y1= -4-4√21，x2=11-√21，y2= -4+4√21，进而很容易求出直线AB方程为4x+y-40=0