Question

一道大一线性代数题。在线等。

设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知a1，a2，a3是它的三个解向量，且a1=(2 3 4 5) ， a2+a3=(1 2 3 4) ，求该方程组的解。

Answer 1

设线性方程组为Ax=b, 因为a1，a2，a3是它的三个解向量，所以有
Aa1=b (1)
Aa2=b (2)
Aa3=b (3)

(1)+(3)可得,再两边同除以2得
A[(a2+a3)/2]=b
于是(a2+a3)/2也是Ax=b的解，
于是A[a1-(a2+a3)/2]=Aa1-A[(a2+a3)/2]=b-b=0.
这说明a1-(a2+a3)/2是Ax=0的解，但a1-(a2+a3)/2＝(3/2,2, 5/2, 3)不为零，又因为A的秩为3，所以Ax=0的基础解系只有一个解向量, 所以a1-(a2+a3)/2＝(3/2,2, 5/2, 3)就是Ax=0的一个基础解系.

于是原非齐次线性方程组的通解为
k[a1-(a2+a3)/2]+a1=(k3/2+2,k2+3, k5/2+4, k3+5) (4)
当然用(a2+a3)/2 代替(4)中的a1也行.

注意：非齐次线性方程的通解＝齐次线性方程组( 也就是非齐次线性方程组的导出组)的通解+非次齐线性方程组的一个特解.
k[a1-(a2+a3)/2]就是其导出组的通解，a1和(a2+a3)/2 都是非齐次线性方程组的特解。

Answer 2

系数矩阵的秩为3，那么它对应的齐次方程组的解空间就是1维的。
要注意到：非齐次方程组的解空间是齐次方程组的解空间的一个陪集（简单来说，两个解空间的关系就是，齐次方程组的解空间一定通过原点，而非齐次方程组的解空间相对于它平移了一下。）
所以马上就可以找到一个基础解系：
=(1/2)(a2+a3)-a1
=(0.5，1，1.5， 2)-(2,3,4,5)
=-(1.5，2，2.5，3)。

所以非齐次方程组的解
=基础解系+特解
=k(1.5，2，2.5，3)+a1。
其中k是任意F中元素

追问

大哥，我才大一，你写的我看不懂。请你从线性方程等基本一些的知识解答吧。我们刚学完“线性方程组的解的结构”。拜托了！！！！

追答

“要注意到”那段，你自动忽略就行了，你没必要看那个。

追问

您能不能不用有关空间向量的知识解答？拜托了。我会加分的。

追答

我这么给你解释吧：

你学了线性方程组解的结构，就一定知道非齐次方程组解的结构是k1s1+...+krsr+B，其中s1,...,sr是基础解系，维数是r。B是一个特解。
我已经说明了基础解系是1维的，那也就是说解的结构就是k*s+B了
这个特解B就直接可以取a1.
既然a1,a2,a3都是解,那分别代入，就有
a1=k01*s+B （1）
a2=k02*s+B （2）
a3=k03*s+B （3）
现在你知道a1和a2+a3，要求的是基础解系s（或者s的任意非零倍数），你说你怎么求？
肯定是（3）式加上（2）式，得到a2+a3=(k02+k03)s+2B
刚才说了，B取a1。那也就是a2+a3-2a1=(k02+k03)s
所以a2+a3-2a1就是一个基础解系了

我都已经说得这么浅显这么详尽了。。。说实话，这是线性代数再基本不过的题目