Question

已知双曲线x2/a2 - y2/b2=1，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点，若OM⊥ON

则双曲线的离心率为？

Answer 1

双曲线x2/a2 - y2/b2=1
右焦点F2(c,0)
过F且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点
∵OM⊥ON
∴|OF2|=|F2M|
∴M(c,c),N(c,-c) (不妨设Mx轴在上方）
将(c,c)代入x2/a2 - y2/b2=1
c²/a²-c²/b²=1
即e²-c²/(c²-a²)=1
∴e²-e²/(e²-1)=1
e⁴-3e²+1=0
e²=(3+√5)/2=(6+2√5)/4=[(√5+1)/2]²
∴e=(1+√5)/2

法2：
|MF1|=√(|F1F2|²+|MF2|²)=√5c
∴|MF1|-|MF2|=(√5-1)c=2a
∴e=c/a=2/(√5-1)=(√5+1)/2

Answer 2

不妨设点M在x轴上方
可知点M,N的横坐标为c，代入双曲线方程，可得M(c，b^2/a)，N(c，-b^2/a)
因为OM⊥ON
所以kOM*kON=-1
整理得，a^2*c^2=b^4
又b^2=c^2-a^2
故a^2*c^2=(c^2-a^2)^2
c^4-3a^2c^2+a^4=0
等式两边同时除以a^4，得
e^4-3*e^2+1=0
解得e^2=(3±√5)/2
又e>1故e^2=(3+√5)/2
e=根号[(3+√5)/2]=[根号（6+2√5）]/2=（1+√5）/2