Question

线性代数！求大神解答！设a为n维列向量，且a^Ta=1,令A=E-aa^T,其中E是n阶单位矩阵，

若R(A)=n-1,则AX=0的通解为？

Answer 1

R(A)=n-1，首先可以确定，A的基础解系所含的解向量个数是n-（n-1）=1个

那么就很简单了，找一个向量，代入AX=0可以使之成立就行了。
利用题目的暗示，这个向量可能是a
我们试一试代入AX=0

(E-aa^T)X=0

(E-aa^T)a=0

a右乘进去得
(E-aa^T)a=(a-aa^Ta)，因为a^Ta=1，所以

(E-aa^T)a=(a-aa^Ta)=(a-a)=0，也就是Aa=0，所以a就是基础解系

所以通解是x=ka，k为任意常数
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另外提醒一下，一般像这种有a^Ta的题目，经常会左(右)乘a或者aT来利用题目的条件。