Question

如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,DO⊥BC于点O,AB=BC=4,AD=2,P是线段AB上的动点，DP⊥PQ交BC于点Q，

R为PD的中点。
求证：△DAP相似于△PBQ
（2）设AP=x，BQ=y，求y与x间的函数解析式，并求y的最大值和对应点p的位置
（3）若以R,P,Q为顶点的三角形与△DOC相似，求此时点P的位置

Answer 1

1）∵∠ADP+∠APD=90°
∠APD+∠QPB=90°
∴∠ADP=∠QPB,又∠A=∠B=90°
∴△DAP∽△PBQ
2）∵AP=x，∴BP=4-x，
又∵△DAP∽△PBQ，∴AD/PB=AP/BQ
∴2/(4-x)=x/y,∴y=-1/2x^2+2x
当x=-b/2a,y有极大值，得x=2,y最大值=2，P为AB中点。
3）在△ADP中，DP=√（2^2+x^2）=√(x^2+4),
∵R为PD的中点∴RP=1/2√(x^2+4),
∵在△PBQ中，PQ=√(PB^2+BQ^2)=√[(4-x)^2+y^2]=(4-x)√(1/4x^2+1)
∵∠A=∠B=90°,DO⊥BC于点O∴DO=BC=4,OC=BC-BO=BC-AD=4-2=2
若△DOC∽△PRQ,则有RP/DO=PQ/OC或RP/OC=PQ/DO
a)当RP/DO=PQ/OC时[1/2√(x^2+4)]/4=(4-x)√(1/4x^2+1)/2
解得x=3.5,或x=4.5（舍去）
b)当RP/OC=PQ/DO时[1/2√(x^2+4)]/2=(4-x)√(1/4x^2+1)/4
解得x=2,或x=6（舍去）

Answer 2

⑴∵∠DPQ=90°，∴∠APD+∠BPQ=90°，
∵∠A=90°，∴∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPQ，又∠A=∠B=90°，
∴ΔDAP∽ΔPBQ；
⑵PB=4-X，
由⑴相似得：AD/BP=AP/BQ，
2/(4-X)=X/Y，
∴Y=-1/2(X^2-4X)=-1/2(X-2)^2+2，
∴当X=2时，Y最大=2，这时P为AB的中点；
⑶①PR/PQ=OC/O=1/2，则PD=PQ，
∴ΔDAP≌ΔPBQ，∴Y=X，
2X=-X^2+4X，X=0或2，
②PQ/PR=1/2，则
X=2Y，1/2X=-1/2(X^2-4X)，X=3。