Question

设3阶实对称矩阵A的特征值为-1，1，1，-1对应的特征向量为（0，1，1）的转置，求A

解: 设属于特征值1的特征向量为(x1,x2,x3)^T
由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交
故(x1,x2,x3)^T与a1=(0,1,1)^T正交.
即有 x2+x3=0.
得基础解系: a2=(1,0,0)^T,a3=(0,1,-1)^T
我想知道基础解系a2,a3怎么求出来的，x2+x3=0.对应的矩阵（0 1 1），自由未知量不是应该取x2吗

Answer 1

由题意知道，1这个特征根的特征子空间是二维的，和（0,1,1）正交的那个二维空间就是1的特征子空间。这个特征子空间由两个基张成的。
先确定a2。a2必须和a1正交，所以答案里取了（1,0,0）（只要满足和a1正交就可以了）

最后确定a3。a3必须跟a1和a2都正交，所以取了（0,1，-1）

追问

就是说a2的条件只要单纯满足x2+x3=0就可以了，最后a3根据与a1,a2正交解出来的？不是取什么自由未知量解的是吗

追答

就是说a2的条件只要单纯满足x2+x3=0就可以了，最后a3根据与a1,a2正交解出来的？
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就是这样