Question

物理电磁学问题 （数学高手请进）

嗯~没有图挺难叙述的，请耐心看完
相信大家都做过这样的题，两根平行的光滑的金属导轨，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场。导轨一头是电源，另一头放着一根可以沿导轨自由滑动的有电阻的直导体，然后闭合开关，有电流通过的导体就会在安培力的作用下动起来。（到此，没看明白的人可以不必浪费时间了）
我的问题是，把电源换成一个充好电的电容，把那个直导体换成一个电感，（感觉有点像LC震荡电路） 其他条件不变 请分析一下闭合开关后，这一堆玩意儿怎么动……已知：C Q L B l m……其他缺什么自己设……
我自己列出了方程（虽然不知道对不对）当然，那个倒霉方程我解不出来
LdQ/dt + Blv = -Q/C dv/dt = BIl/m
要求：请列出正确方程,给出解……（过程不要求）……如果再能简单说明一下那个电感是怎么动的我会感激不尽
视答案满意程度而定，我可能会给出更多积分……在这方面我已经不惜血本了……
咳……看了某先生的回答……发现忘记了重要内容
理想~一切都是理想的~没有发热~也没什么能量以电磁波的形式跑出去~~
这只是一个高中生的问题……我不可能找得到仪器来做实验的

Answer 1

这可不是一般的二阶电路问题，电感是在滑动的！
首先规定电容初始带电量为Q0，电感初始位移为0。磁场垂直纸面向里，电感在电容右边。再规定符号，电容上极板的电荷符号为电容带电量的符号，电感位移向右为正，电流方向逆时针为正。
任意时刻电容器两边的电压等于电感两边的电压（包括电感的自感电动势和切割产生的感应电动势）
Bldx/dt-LdI/dt=Q/C (1)
安培力提供电感的加速度
-BlI=ma=md^2x/(dt)^2 (2) （注意，电流方向逆时针为正！）
其中
I=dQ/dt (3)
初始条件
t=0时
x=0 (4)
v=dx/dt=0 (5)
Q=Q0 (6)
I=0 (7)
由(1)～(3)式，加上（4）～（6）式的初始条件，可以解得,位移
x(t)=At+Bsin(ωt)
其中
A=Q0Bl/(B^2*l^2*C+m)
B=Q0BlmCL/((B^2*l^2*C+m)(B^2*l^2*C^2*mL+CLm^2)^(1/2))
ω=((B^2*l^2*C+m)/(CmL))^(1/2)
由此可知，电感的运动是一个匀速直线运动和一个简谐运动的叠加。
注：上面的微分方程组的解是本人经过整理后由数学软件Marlab求解的结果整理而得。手工也可以解，只不过比较麻烦。

Answer 2

很标准的二阶微分方程。
只是多一步。
MV=BL(Q0-Q) 由dv/dt = BIl/m积分得来
Q/C-dI/dT*L-VBL=0
Q0为初始电荷为常量。消去V得非齐次二阶微分方程，有标准解。
解即可。

TO cjourney "三阶"? Q(T)出来了，位移S（T）就是再积一下而已。两阶就够，要三阶干吗？

dV/dT*M=BLI,即dV=BLI/M*dT
积分得MV=BL(Q0-Q(T)) Q0为初始电荷为常量
得出Q(T) 后 由上式可得V(T) 再积分得S(T)

Answer 3

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如上图：
1、闭合开关：先是电容器放电，电路中电流从无到有（可看作电流增大）
2、根据楞次定律，这一堆玩意儿会瞬时收缩一下，但电感线圈中的各个线圈之间距离会瞬时增大（假如线圈是可以收缩、拉长的螺旋弹簧状）
3、收缩之后可能经由（收缩——恢复原状——涨开）循环振荡。在理想状况下一直振荡下去 。
[我是山西临汾一中的物理老师，欢迎交流]

Answer 4

如果是实际的电路，线圈可能会收缩一下，很快恢复原状了，因为能量很快消耗光了。
理想情况下，导体框回路的电磁感应会阻碍引起它的原因的发生，即阻碍LC回路中的振荡，所以振荡电流会缓慢减小。
给你个建议，如果有精密的仪器，尝试着做做看。

Answer 5

人生的本征值,你解出来的是Q(t)。人家Kanone_Hilbert要的是位移随时间的关系。按cxl83的算式，化简出来的应该是三阶微分方程，人家至少解出来了，你没解出来别乱说。
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可我感觉还是三阶啊。我是这么想的。I=dQ/dt,成三阶的了。然后I和加速度相关，再积分两次应该能出来了。我不知道Q(t)和S(t)怎么直接联系起来，望明示，谢谢！