Question

数学几何难题

Answer 1

 

∵梯形是等腰梯形∠B＝∠C＝∠EAF＝60°，DC＝AB＝AD＝6，AD／／BC

∴∠BAD＝∠ADC＝120°，∠BAE＋∠FAD＝120°－60°，

∵DF＝2CF，DC＝6，∴DE＝4，CF＝2，

      AF²=AD²+DF²-2AD*DF*COS∠ADC,AF²=36+16-2*6*4*(-1/2)=76,AF=√76,

以A为中心将⊿ABE逆时针旋转120°，合AB与AD重合，E点落点为M，

∴AB＝AD，∠B＝∠ADM＝60°，∠ADF＋∠ADM＝180°，

∴FDM在一条直线上，∠DAM＝∠BAE，∠MAF＝∠DAM＋FAD＝60°，

∠MAF＝∠EAF＝60°，AM＝AE，AF＝AF，∴⊿AEF≌⊿AMF，

∴EF＝MF＝MD＋FD，设BE＝MD＝x，AE＝AM＝a,

∵∠MAF＝∠ADM＝60°,∠M为公共角，∴⊿AFM∽⊿DAM，

a/(x+4)=x/a,,x/a=6/√76,解得x=3.6  ,EF=4+3.6=7.6

Answer 2

我有一个办法，用解析几何。

为了方便，将图翻折，使A在左下角，A作为原点，AD为+x方向

D(6, 0)

C的横坐标 = AD  + BCcos60˚ = 6 + 6cos60˚ = 9

C的纵坐标 = BCsin60˚ = 6sin60˚ =3√3

C(9, 3√3)

F的横坐标 = AD  + BFcos60˚ = 6 + 4cos60˚ = 8

F的纵坐标 = BFsin60˚ = 4sin60˚ =2√3

AF的斜率p = tanBAF = 2√3/8 = √3/4

AE的斜率k = tanBAE = tan(BAF + EAF) = tan(BAF + 60˚) = (tanBAF + tan60˚)/(1 - tanBAF*tan60˚)

= (√3/4 + √3)/(1 - √3*√3/4)

= 5√3

AE的方程: y = 5√3x

取y = 3√3 (C的纵坐标), x = 3/5

E(3/5, 3√3)

EF² = (3/5 - 8)² + (3√3 - 2√3)² = 1444/25

EF = 38/5

Answer 3

AB=AD=CD=6，CF=2，BC=6+3+3=12，CE=9，∠ECF=60°，
余弦定理：EF^2=CF^2+CE^2-2CF X EC Xcos60°，得到EF=7.6

Answer 4

突然想到了 

Answer 5

过F点做一条垂线交EC于H点，可以求得，BE=AB*cos60=6*0.5=3。所以CE=3+6=9cm，CF=1/3CD=2cm，CH=1cm，EH=8cm，FH=√3cm，根据直角三角形勾股定理得：EF的平方=64+3=67，EF=根号67