Question

大学线性代数的题目，求高手们详解，如图，答案是A，B, D,6题答案不知道，要过程，求详解，谢谢！

请您再帮我解决下图中的第四题和第九题，还有上面第一幅图的16题您虽然讲解了，但还是不太懂，能再通俗点吗？非常谢谢您！

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Answer 1

14、矩阵的行列式等于特征值之积，求出4A-1 - E的特征值即可。A-1的特征值是A的特征值的倒数，所以4A-1 -E的特征值是4/1-1=3，4/2-1=1，4/3-1=1/3，所以行列式等于3×1×1/3=1。
还有一种做法，就是假设A是对角矩阵diag(1,2,3)，代入计算一下。
11、我觉得这个题目有问题，已知条件只是点明了未知量的个数，方程个数未知，正确的只有C，看四个选项以及答案的意思是方程个数是n，这点值得商榷。
10、首先，Ax=0的基础解系中只有n-(n-1)=1的向量，而α1-α2就是一个非零解，所以答案是D。
16、根据各行元素之和为零，(1,1,...,1)'是解，基础解系中只有1个向量，所以通解是k(1,1,...,1)'，k是任意实数。

追问

请您再帮我解决下图中的第四题和第九题，还有上面第一幅图中的第十六题还是不太懂，能再详细点吗？非常谢谢您！

追答

4、首先，Ax=0的基础解系中向量个数是4-r(A)=4-3=1。又非齐次方程组的任两个解的差还是对应齐次方程组的解，所以Ax=0的一个解可以取作2η1-η2-η3=(2,3,4,5)T，所以Ax=b的解可以表示为η1+k(2η1-η2-η3)＝=(1,2,3,4)T＋k(2,3,4,5)T，k是任意实数。
9、观察一下，前两个向量相减，后两个向量相减，是不是刚好相反？所以把组合系数取作1,-1,1,-1，它们的线性组合就是零向量，所以这个向量组线性相关。
16、关键是要求出(1,1,...,1)T这个解。如何让A的各行元素加起来，只要每一个未知量都取值1，则方程组Ax=0的每一个方程都是ak1x1+ak2x2+...+aknxn=ak1+ak2+...+akn=0，所以(1,1,...,1)T是解。