Question

大学线性代数问题（特征值，特征向量）（题目很难，对于优质答案会再加100分）

有一n行n列的矩阵A（ε，t），矩阵A的元素a（i，i）=ε，（i=1,2,3,4...n），a（i，i+1）=a（i+1，i）=t（i=1,2,3....n-1）,
a(n,1)=a（1，n）=t,其余矩阵元素都为零。ε，t是实数，且t>0.

问（1 ）n个实数x1,x2,x3,.....xn构成列向量（x1,x2,x3,.....xn），矩阵P满足，P 乘以列向量 （x1,x2,x3,.....xn）等于列向量（x2,x3,.....xn，x1），求矩阵P

问（2）求PA-AP
问（3）求P的n个线性无关的特征向量u1，u2，u3.....un,及其特征值
问（4）P的两个线性无关的特征向量，x，y，与x，y对应的特征值不相同，证明x的共轭转置x*乘以A乘以y等于0，x*Ay=0.
问（5）求满足D=U*A U （U*是U矩阵的共轭转置，U是酉矩阵，D是对角矩阵）的酉矩阵U，对角矩阵D
问（6）2n行2n列矩阵B，如图

A是之前定义的n行n列矩阵，I是n行n列单位矩阵，λ是正实数，求B的2n个特征值。
问（7）问6求出的特征值（λ不等于0的时候）和λ=0时的特征值的差和λ的几次方成比例？（若λ是微小量，λ大于零，且λ远小于t）

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Answer 1

题目确实超级难，最后两问没做出来，只有一点思路。见图：

针对网友对第三问的疑问：

Answer 2

哇塞。。。居然有7问。。。要命。。我看看、、

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