Question

方程(t+1)x2+2(2-t)x+2t+4=0的两个根,一个大于3,另一个小于3,求实数t的取值范围.

Answer 1

(x1-3)(x2-3)＜0，即x1x2-3(x1+x2)+9＜0，由韦达定理
（2t+4）/(t+1)+3(4-2t)/(t+1)+9＜0
当t+1＞0时，2t+4+12－6t+9t+9＜0，解得t＜－5，与t+1＞0矛盾，

当t+1＜0时，2t+4+12－6t+9t+9＞0，解得t＞－5，
即－1＞t＞－5

Answer 2

令f(x)=(t+1)x2+2(2-t)x+2t+4是二次函数，易知函数与x轴有两个交点，分别在3的两侧。
(1)当 t+1>0时，函数开口向上，则 f(3)<0,即 9(t+1)+6(2-t)+2t+4<0,
解得t>-1且t<-5,无解
(2)当 t+1<0时，函数开口向下，则 f(3)>0,即 9(t+1)+6(2-t)+2t+4>0,
解得 -5<x<-1