Question

已知圆O:x²+y²=2,圆M:(x-1)²+(y-3)²=1,过圆M上任一点p作圆O的切线PA,设PA与圆M的另

已知圆O:x²+y²=2,圆M:(x-1)²+(y-3)²=1,过圆M上任一点p作圆O的切线PA,设PA与圆M的另一个交点为Q (1)当PQ最大时，求PA的长度 （2）过M作圆O的切线MR,MT,R,T为切点，求直线RT的方程

Answer 1

^2是平方

1) 由圆的方程可知，⊙O半径√2，圆心O(0，0)；⊙M半径1，圆心M(1，3)

    P、Q都在⊙M上，所以PQ是⊙M的弦

    而直径是最长的弦，所以PQ最大时，PQ是直径，即PQ过M

    这样切线PA也过M

    联结MO，AO，则有MA⊥OA

    AO是⊙O的半径，所以AO=√2，而由于M(1，3)，O(0，0)，MO=√(1^2+3^2)=√10

    所以在Rt△AOM中，∠MAO=90°，所以MA=√(MO^2-AO^2)=√((√10)^2-(√2)^2)=2√2

    而且MP是⊙M的半径，所以MP=1

    则当P在M、A之间时，PA=AM-MP=2√2-1；当Q在A、M之间时，PA=AM+MP=2√2+1

    所以PA=2√2-1或2√2+1

 

 

2) 第二题还是过M作⊙O的切线，所以可以沿用第一小题中的一些结论

    在第一小题中，A是过M的⊙O的切线所得的切点，也就是第二小题中的R、T

    而且从第一小题中的AM=2√2，可知有MR=MT=2√2

    若设R(x，y)，则R在⊙O上，有x^2+y^2=2

    而且MR=2√2，由M(1，3)得√((x-1)^2+(y-3)^2)=2√2

    联立两个方程，解得(x，y)=(-1，1)(7/5，1/5)

    这两个坐标中一个坐标是R的，另一个是T的

    虽然不知道具体哪个是哪个，但题目是求直线RT方程，没有多大关系

    RT的斜率k=1/5-1/(7/5-(-1))=-1/3

    则方程为(y-1)=-1/3*(x-(-1))，即直线RT的方程为x+3y-2=0