Question

高中一道圆锥曲线大题

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率e=√3/3，MN是经过椭圆左焦点F的任一弦，AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦。（1）若2向量MF＝5向量FN，求弦MN所在直线的斜率；（2）证明：|AB|是|MN|和椭圆长轴2a的等比中项。

求过程 越详细越好 我怎么觉得那么难算呢

Answer 1

解：

（1）

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)  ，左焦点为F.

|MF|＝5m，则|FN|＝2m，|MN|＝7m，

设直线l是椭圆的左准线，e是椭圆的离心率，e=√3/3.

作MM1⊥l于A1，作NN1⊥ l于B1,NA⊥MM1于A，

根据椭圆的第二定义，则|MM1|＝5m/e ， |N1N|＝2m/e ，

∴|AM|＝|MM1| - |N1N|=3 m/e，

所以cos∠MFx= cos∠NMA

=|AM|/|MN|=(3 m/e)/(7m)

=3 /(7e)

=3√3/7

从而tan∠MFx=√66/9.

∴MN的斜率为√66/9。

 

追问

那个我想问一下 设MN坐标，带入条件，直线与椭圆联消判韦 能不能做出第一问 第二定义我们这里都没讲 要是能做大概说下思路 想知道我想的对不对 谢谢