Question

定积分∫√(2x–x^2)dx=? 积分上线2，下0

Answer 1

具体回答如下：

换元x=1+sinu

=∫(1+sinu)cosud(1+sinu)

=∫cos²u+sinucos²udu

=1/2∫cos2u+1du-∫cos²udcosu

=sin2u/4+u/2-cos³u/3+C

定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

∫(2x–x^2)^1/2dx
=∫(2x–x^2-1+1)^1/2dx
=∫(1-(x-1)^2)^1/2dx
令x=1+sint。。。t=arcsin(x-1)=arcsin(2-1)=π/2。。。t=arcsin(0-1)=-π/2
=∫(1-(1+sint-1)^2)^1/2d(1+sint)
=∫costd(1+sint)
=∫cost^2dt
由于cos2t=2cost^2-1
=∫1/2(cos2t+1)dt
=1/2(1/2sin2t+t)
=1/4sin2t+1/2t
=(1/4sint2*π/2+1/2*π/2)-(1/4sint2*-(π/2)+1/2*(-π/2))
=π/2
另一种方法是令y=(2x–x^2)^1/2(y>0)
x^2+y^2=2x
(x-1)^2+y^2=1
这是一个以(1,0)为圆心，1为半径的一个圆
对x的0到2积分是圆的上半个圆面积
面积S=π*1*1*1/2=π/2

Answer 3

2*1/2x^2-1/3x^3
把2代入上式减去把0代入上式计算出结果就是所求。哈哈，求导的逆运算。

Answer 4