Question

(2012绵阳市)如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,连接PO,AB相交于D,C是⊙O上的一点,∠C=60°

求∠APB的大小
若PO=20cm，求△AOB的面积

Answer 1

（1）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∴∠APB=360°-∠PAO-∠PBO-∠AOB=60°；
（2）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴∴PA⊥AO，OB⊥PB
∴∠PAO=∠PBO=90°
∠APO=1/2∠APB=1/2×60°=30°，PA=PB
∴P在AB的垂直平分线上，
∵OA=OB，
∴O在AB的垂直平分线上，
即OP是AB的垂直平分线，
即OD⊥AB，AD=BD=1/2AB
∵∠PAO=90°，
∴∠AOP=60°，
在Rt△PAO中，AO=1/2PO=1/2×20=10（cm），
在Rt△AOD中，AD=AO•sin60°=10×√3/2=5√3,OD=OA•cos60°=10×1/2=5
∴AB=2AD=10√3cm
∴△AOB的面积为：1/2AB•OD=1/2×10√3×5=25√3（cm2）．

Answer 2

（1）由PA、PB分别切⊙O于A、B，由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小。
（2）由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长，从而求得答案。

Answer 3

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