Question

高中数列求通项公式的问题an+1=2an+3n+4^n

Answer 1

a(n+1)=2an +3n +4ⁿ
a(n+1)+3(n+2)-4^(n+1)/2=2an +6(n+1)-4ⁿ 就是这一步找出对应关系最难。
a(n+1)+3(n+2)-4^(n+1)/2=2[an+3(n+1)-4ⁿ/2]

题目没有给出a1，如果a1+3×(1+1)-4/2=0，即a1=-4，那么
数列{an +3(n+1) -4ⁿ/2}是各项均为0的常数数列。
an=4ⁿ/2 -3n-3=2^(2n-1) -3n-3

如果a1≠-4，那么
数列{an+3(n+1)-4ⁿ/2}是以a1+4为首项，2为公比的等比数列。
an+3(n+1)-4ⁿ/2=(a1+4)×2^(n-1)
an=4ⁿ/2 +(a1+4)×2^(n-1) -3n-3=2^(2n-1) +(a1+4)×2^(n-1) -3n-3

追问

a(n+1)+3(n+2)-4^(n+1)/2=2an +6(n+1)-4ⁿ 主要就这个怎么用待定系数法求？？ 谢谢

追答

方法：需要拆分的有两项：3n，4ⁿ，注意到an前面的系数是2，因此需要得到形如f(a(n+1))=2f(an)形式的等式，这点你应该很明确了吧。
a(n+1)=an+3n+4ⁿ变化为如下形式：
a(n+1)+k(n+1)+t+p×4^(n+1)=2(an+kn+t+p×4ⁿ)
之所以这样变，是由等式的特点设的，具体问题要具体变。下面求待定的系数：
a(n+1)+kn+k+t+4p×4ⁿ=2an+2kn+2t+2p×4ⁿ
a(n+1)=2an+2kn+2t+2p×4ⁿ-kn-k-t-4p×4ⁿ
=2an+kn-2p×4ⁿ-k +t-k
又an=2an +3n +4ⁿ
因此kn-2p×4ⁿ+t-k=3n+4ⁿ
对比，得
k=3
-2p=1
t-k=0
解得k=3 p=-1/2 t=k=3
剩下的就好办了吧，直接代，就得到a(n+1)+3(n+2)-4^(n+1)/2=2an +6(n+1)-4ⁿ了。后面的步骤就是上面我写的。具体做题的时候没这么复杂，缺项补项就是了，很快就可以得到的。只有带分式的才麻烦些，有的系数是无理数，才需要按待定系数法做。

Answer 2

有了递推关系，但无首项，通项公式是不确定的
假设首项a1已知，本题可用以下方法求得通项：

因a2=2a1+3*1+4^1
(1/2)a3=a2+(1/2)*3*2+(1/2)*4^2
(1/2^2)a4=(1/2)a3+(1/2^2)*3*3+(1/2^2)*4^3
...
[1/2^(n-2)]an=[1/2^(n-3)]a(n-1)+[1/2^(n-2)]*3*(n-1)+[1/2^(n-2)]*4^(n-1)
以上各式相加得
[1/2^(n-2)]an=2a1+3{1/2^0+2/2^1+3/2^2+...+(n-1)/2^(n-2)}+{4^1/2^0+4^2/2^1+4^3/2^2+...+4^(n-1)/2^(n-2)}（*）

令P=1/2^0+2/2^1+3/2^2+...+(n-1)/2^(n-2)（I）
则(1/2)P=1/2^1+2/2^2+3/2^3+...+(n-1)/2^(n-1)（II）
由（I）-（II）得
P-(1/2)P=1/2^0+{1/2^1+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n-2)}-(n-1)/2^(n-1)
易知1/2^1+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n-2)=1-1/2^(n-2)
于是(1/2)P=2-1/2^(n-2)-(n-1)/2^(n-1)
即P=4-(n+1)/2^n

令Q=4^1/2^0+4^2/2^1+4^3/2^2+...+4^(n-1)/2^(n-2)
则Q=2^2/2^0+2^4/2^1+2^6/2^2+...+2^(2n-2)/2^(n-2)
=2^2+2^3+2^3+...+2^n
易知Q=2^(n+1)-4

将P、Q代入（*）式得
[1/2^(n-2)]an=2a1+3[4-(n+1)/2^n]+2^(n+1)-4
所以an=2^(2n-1)-3(n+1)/4+2^(n+1)+2^(n-1)a1

Answer 3

没有首项，如果首项为a1难度增加很多。请给出首项