Question

一道高中函数数学题

已知函数f(x)=1/2 x^2 -3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a＞1
若对于任意的x1,x2属于（0，正无穷），x1≠x2，函数h(x)满足[h(x1)-h(x2)]/x1-x2 ＞-1，求实数a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=1/2 x^2 -3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a＞1
若对于任意的x1,x2属于（0，正无穷），x1≠x2，函数h(x)满足[h(x1)-h(x2)]/x1-x2 ＞-1，求实数a的取值范围
解析：∵函数f(x)=1/2x^2-3x+(a-1)lnx，g(x)=ax，
h(x)=f(x)-g(x)+3x=1/2x^2-3x+(a-1)lnx-ax+3x=1/2x^2-ax+(a-1)lnx
∴h'(x)=x-a+(a-1)/x>-1==>[x^2-(a-1)x+(a-1)]/x>0
∵x>0
x^2-(a-1)x+(a-1)>0==>(a-1)^2-4(a-1)<0==>(a-1)(a-5)<0==>1<a<5
∴实数a的取值范围为1<a<5

Answer 2

....表示先被题目看晕了。。
最基本的是将h(x)的式子写出来
整理求导
h(x) 满足的式子就是导函数的瞬间值。。。
其实就是用导数来做上h(x)的单调性
然后代一代比值小于-1
.。。。。。
其实我也乱了。。。

Answer 3

取极限可以伐。。
那个[h(x1)-h(x2)]/x1-x2 极限情况就是hx切线的斜率撒。。
h'(x)=x-a+(a-1)/x>-1在（0，+∞）恒成立
就是一个很简单的分离参数了