Question

一道八年级数学题，急急急急急急急

如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H。
（1）你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？
（2）想一想，什么时候EHFG会成为一个菱形？
（3）四边形EHFG会成为一个正方形？

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，AB=CD，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF，
∴四边形FGEH是平行四边形；

（2）当平行四边形ABCD是矩形时，平行四边形EHFG是菱形．
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴BE=CF，
在△EBC与△FCB中，
∵BE=CF∠ABC=∠DCBBC=BC，
∴△EBC≌△FCB，
∴CE=BF，
∠ECB=∠FBC，
BH=CH，
EH=FH，
平行四边形EHFG是菱形；

（3）当平行四边形ABCD是矩形，并且AB=2AD时，
平行四边形EHFG是正方形．
∵E，F分别为AB，CD的中点，且AB=CD，
∴AE=DF，且AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AD=EF，
又∵AB=2AD，E为AB中点，则AB=2AE，
于是有AE=AD=12AB，
这时，EF=AE=AD=DF=12AB，∠EAD=∠FDA=90°，
∴四边形ADFE是正方形，
∴EG=FG=12AF，AF⊥DE，∠EGF=90°，
∴此时，平行四边形EHFG是正方形．

Answer 2

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，AB=CD，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理DE∥BF，
∴四边形FGEH是平行四边形；
（2）当平行四边形ABCD是矩形时，平行四边形EHFG是菱形．
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴BE=CF，
在△EBC与△FCB中，
∵BE=CF∠ABC=∠DCBBC=BC，
∴△EBC≌△FCB，
∴CE=BF，
∠ECB=∠FBC，
BH=CH，
EH=FH，
平行四边形EHFG是菱形；
（3）当平行四边形ABCD是矩形，并且AB=2AD时，
平行四边形EHFG是正方形．
∵E，F分别为AB，CD的中点，且AB=CD，
∴AE=DF，且AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AD=EF，
又∵AB=2AD，E为AB中点，则AB=2AE，
于是有AE=AD=12AB，
这时，EF=AE=AD=DF=12AB，∠EAD=∠FDA=90°，
∴四边形ADFE是正方形，
∴EG=FG=12AF，AF⊥DE，∠EGF=90°，
∴正方形EHFG

Answer 3

（1）四边形EHFG是平行四边形。先证四边形EBFD四边形ECFA是平行四边形
（2）四边形ABCD是矩形时EHFG会成为一个菱形
3）四边形ABCD是正方形时四边形EHFG会成为一个正方形