Question

如图,抛物线与X轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D

（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线顶点D的坐标；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设解析式为y=ax²+bx+c,
由A、B、C用待定系数法得y=x²-2x-3

（2）点D（1，-4）

（3）由题意得CD=√2，BD=2√5，BC=3√2，
∵CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，CD/BC=1/3
①若P在Y轴，则只有当P在坐标原点时△PAC是RT△，
此时PA/PC=1/3，符合题意
②若点P在X轴上（除坐标原点外），当P（9,0）时符合题意，
∴点P坐标为（0，0）或（9，0）.