Question

计算:(1-1/5²)(1-1/6²)(1-1/7²)(1-1/8²)…(1-1/2012²)

Answer 1

:(1-1/5²)(1-1/6²)(1-1/7²)(1-1/8²)…(1-1/2012²)
共有2012-5+1=2008个括号

=(1-1/5)(1+1/5)(1-1/6)(1+1/6)(1-1/7)(1+1/7)(1-1/8)(1+1/8).....
=4/5*6/5*5/6*7/6*6/7*8/7*7/8*9/8*........2010/2011*2012/2011*2011/2012*2013/2012
一共有2008*2=4016项，其中第二与第三项约掉
约分后：(中间的都约掉)
=4/5* 2013/2012
=（4*2013）/（5*2012）
=2013/（5*503）
=2013/2515

Answer 2

解1-1/n²=（n²-1）/n²=（n-1）（n+1）/n²
即:(1-1/5²)(1-1/6²)(1-1/7²)(1-1/8²)…(1-1/2012²)
=(4*6/5*5)(5*7/6*6)(6*8/7*7)(7*9/8*8)....(2010*2012/2011*2011)(2011*2013/2012*2012)
=4/5*2013/2012
=1/5*2013/503
=2013/2515

Answer 3

1-1/5²=1²-（1/5）²=(1+1/5)(1-1/5) 两数平方差=两数和乘两数差，所以
(1-1/5²)(1-1/6²)(1-1/7²)(1-1/8²)…(1-1/2012²)
=(1+1/5)(1-1/5)(1+1/6)(1-1/6)(1+1/7)(1-1/7)(1+1/8)(1-1/8)…(1+1/2012)（1-1/2012）
=6/5*4/5*7/6*5/6*7/8*6/7*9/8*7/8…*2013/2012*2011/2012
=4/5*(6/5*5/6)(7/6*6/7)(8/7*7/8)(9/8*8/9)…(2012/2011*2011/2012)*2013/2012
=4/5*2013/2012
=2013/2515