Question

高中三角函数大神进sinA+sinB=根号二/2 求cos（A-B）范围及cosA+cosB范围

sinA+sinB=根号二/2 求cos（A-B）范围及cosA+cosB范围
速度

Answer 1

解：
（1）因为sinA+sinB=√2/2
所以sinA+sinB=2[sin(A+B)/2][cos(A-B)/2]=√2/2
从而cos(A-B)/2=√2/[4[sin(A+B)/2]
又cos(A-B) = 2cos² [(A-B)/2]-1 =2 (√2)²/[4² sin²(A+B)/2] -1=1/[ 4sin²(A+B)/2] -1
因为0<sin²(A+B)/2≤1
所以 -3/4 ≤cos(A-B) ≤1
所以cos（A-B）范围为 [-3/4，1]。
（2）令 cosA+cosB=y
则两边平方，得 (cosA)² +(cosB)² +2cosAcosB=y² ①
同理sinA+sinB=√2/2两边平方可得 (sinA)² +(sinB)² +2sinAsinB =1/2 ②
由①+②可得2 + 2(cosAcosB+sinAsinB)=y²+1/2
2cos(A-B)=y²-3/2
即 cos(A-B) = 1/2y² -3/4
由（1）可知-3/4≤cos(A-B)≤1
则有 -3/4≤1/2y² -3/4≤1 即 0≤y²≤7/2 显然y²≥0恒成立， 只需要y²≤7/2
解得 -√14/2≤y≤√14/2
故cosA+cosB的取值范围是 [-√14/2，√14/2]。

不明白的可以追问，期望帮上你的忙！之前提交的第一问算错了，现更正了，竟然有人在此复制我的答案又在这作答。祝你学习进步！

Answer 2

sin((A+B)/2)cos((A-B)/2) = sqrt(2)/4
cos(A-B) = 2cos((A-B)/2)^2 -1 = 1/( 4sin((A+B)/2)^2 ) -1
因为0<sin((A+B)/2)^2 =<1
所以 -3/4 =<cos(A-B) =<1

设cosA+cosB = t
（cosA+cosB ）^2+（sinA+sinB）^2 = 2 + 2 cos(A-B) = 1/2 + t^2
所以
t^2 = 3/2 +2 cos(A-B)
所以
0=< t^2 =< 7/2
- sqrt(14)/2 =< cosA+cosB =< sqrt(14)/2

Answer 3

解：
（1）根据三角函数的性质，可知-1≤cos(A-B)≤1
所以cos（A-B）范围为 [-1,1]。
（2）令 cosA+cosB=y
则两边平方，得 (cosA)² +(cosB)² +2cosAcosB=y² ①
同理sinA+sinB=√2/2两边平方可得 (sinA)² +(sinB)² +2sinAsinB =1/2 ②
由①+②可得2 + 2(cosAcosB+sinAsinB)=y²+1/2
2cos(A-B)=y²-3/2
即 cos(A-B) = 1/2y² -3/4
因 -1≤cos(A-B)≤1
则有 -1≤1/2y² -3/4≤1 即 -1/4≤y²≤7/2 显然y²≥0>-1/4 只需要y²≤7/2
解得 -√14/2≤y≤√14/2
故cosA+cosB的取值范围是 [-√14/2,√14/2]。
望采纳！！！