Question

已知(1+根号x)^n的展开式中第9、10、11项的二项式系数成等差数列,求n

Answer 1

(1+u)^n的第k项为u^(n-k+1)*n!/[(n-k+1)!(k-1)!], k=1,2,...,n,n+1.
第k项的二项式系数为n!/[(n-k+1)!(k-1)!], k=1,2,...,n,n+1.

2*n!/[(n-10+1)!(10-1)!] = n!/[(n-9+1)!(9-1)!] + n!/[(n-11+1)!(11-1)!],
2/[(n-9)!9!] = 1/[(n-8)!8!] + 1/[(n-10)!(10)!],
2(n-8)!(10)!/[(n-9)!9!] = (n-8)!(10)!/[(n-8)!8!] + (n-8)!(10)!/[(n-10)!(10)!],
2*(n-8)*10 = 10*9 + (n-8)(n-9) = 90 + (n-8)(n-8-1) = 90 + (n-8)^2 - (n-8),
0=(n-8)^2 - 21(n-8) + 90 = (n-8-15)(n-8-6)=(n-23)(n-14),

n=23或n=14