Question

大一高数B求微分方程的通解

详细思路及过程，谢谢

Answer 1

解：令z=1/y²，则dy=(-y³/2)dz
代入原方程，化简得
xz'+2z=-2x(1+lnx).........(1)
再令x=e^t，则xz'=dz/dt
代入方程(1)，化简得
dz/dt+2z=-2(1+t)e^t..........(2)
方程(2)是一阶线性微分方程，用公式求解得
z=Ce^(-2t)-2te^(-t) (C是积分常数)
==>z=C/x²-2lnx/x (用x=e^t代换)
==>1/y²=C/x²-2lnx/x (用z=1/y²代换)
故原方程的通解是1/y²=C/x²-2lnx/x (C是积分常数)。