Question

已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=0的两个整数根，恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c

Answer 1

解：设方程x²+ax+b=0的两个根为α，β，
∵方程有整数根，
设其中α，β为整数，且α≤β，
则方程x²+cx+a=0的两根为α+1，β+1，
∴α+β=-a，（α+1）（β+1）=a，
两式相加，得αβ+2α+2β+1=0，
即（α+2）（β+2）=3，
∴α+2=1，β+2=3或α+2=-3，β+2=-1.
解得α=-1，β=1或α=-5，β=-3.
又∵a=-（α+β）=-[（-1）+1]=0，
b=αβ=-1×1=-1，
c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-1+1）+（1+1）]=-2，
或a=-（α+β）=-[（-5）+（-3）]=8，
b=αβ=（-5）×（-3）=15，
c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-5+1）+（-3+1）]=6，
∴a=0，b=-1，c=-2；或者a=8，b=15，c=6，
∴a+b+c=0+（-1）+（-2）=-3或a+b+c=8+15+6=29，
故a+b+c=-3或29．

望采纳，若不懂，请追问。

追问

方程x²+cx+a=0的两根为α-1，β-1

追答

题目好比方程x²+ax+b=0的两个根都大1，所以方程x²+cx+a=0的两根应该是α+1，β+1

Answer 2

设方程x²+ax+b=0的两个根为α，β(α<β)，
则α+β=-c，αβ=a,
x²+ax+b=0的两根为α+1、β+1，
α+1+β+1=-a，(α+1)(β+1)=b,
∴(α+β)+2=-a，αβ+(α+β)+1=b,
∴-c+2=-a，a-c+1=b,
-2=b-1，b=-1，
∵α、β为整数，∴α+1、β+1是整数，
又(α+1)(β+1)=-1，α<β，
∴α+1=-1，β+1=1，
∴α=-2，β=0。
∴a=0,c=2,
a+b+c=1