Question

几道一元二次方程的奥赛题

1.已知三个方程a x² +bx+c=0, b x² +cx+a=0, c x² +ax+b=0有一个公共根，且abc≠0.求此公共根。
2.已知a,b,c为互不相等的非零实数，求证：三个方程a x² +2bx+c=0, b x² +2cx+a=0, c x² +2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根。
3.已知k为自然数，关于x的一元二次方程 x² +x+10=k(k-1)有一个正整数根，试求此正整数根及K的值。

以上的题请把过程写出来，写得好追加分

Answer 1

1.设这个公共根为m，由题意可知m满足以上3个方程
把X=m带入3个方程，由对比系数法可得m=1

2.反证法：假设3个方程都有2个相等的实根
b²=ac,c²=ab,a²=bc
把左边和左边相加，右边和右边相加得
a²+b²+c²=ac+ab+bc 进一步化简得
(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0
所以得a=b=c
又因为题目说a,b,c为互不相等的非零实数，所以假设不成立
所以3个方程不可能都有2个相等的实根

3.因为方程有一个正整数根
所以1-4[10-k(k-1)]>=0
k>=(1+根号40)/2 或 k=<(1-根号40)/2
有因为k为自然数
所以k>=(1+根号40)/2 注释 3<(1+根号40)/2<4
所以 k>=4 根据不定方程解法
把k=4带入方程得x² +x-2=0 解得有一个正根为1 满足题意
k=6带入方程得x² +x-20=0解得有一个正根为4 满足题意
所以这个题目有2个答案

Answer 2

第一个是：1