Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中（1）若E为棱BC的中点,则二面角D1-B1E-C的大小为

正方体ABCD-A1B1C1D1中
（1）若E为棱BC的中点,则二面角D1-B1E-C的大小为？
（2）若E为CC1的中点，则面AB1E与地面ABCD所成的角为？
（3）点M在AB上，若二面角C-M1B-B为60°，则|AM|：|MB|=？

Answer 1

（1）见上图

• 取CD中点F，连接EF、D1F。显然EF//D1B1，则平面D1B1E即平面D1B1EF（可以不作）。二面角D1-B1E-C的大小即平面D1B1EF与平面CC1B1E的所成角

• 过C1作C1G⊥B1E，连接D1G。令正方体棱长为2，分别在RT⊿C1B1G（要用到相似）、RT⊿D1C1B1、RT⊿D1C1G中计算D1G、D1B1、B1G，可证明⊿D1B1G为RT⊿，即得D1G⊥B1E。所以∠D1GC1为二面角D1-B1E-C的大小

• 在RT⊿D1C1G中即可得到所求

 

（2）见上图

• 取CD中点F，连接EF、AF。显然EF//AB1，则平面AB1E即平面AB1EF。平面AB1E与底面所成角即平面AB1EF与底面所成角

• 过B作BG⊥AF，连接B1G。令正方体棱长为2，分别在RT⊿ABG（要用到相似）、RT⊿ABB1、RT⊿BB1G中计算AG（BG）、AB1、B1G，可证明⊿AB1G为RT⊿，即得B1G⊥AF。所以∠BGB1为平面AB1EF与底面所成角

• 在RT⊿BB1G中即可得到所求

 

（3）见上图

• 过B作BE⊥MC，连接EB1，易知MC⊥平面BB1E，即有MC⊥B1E。同时易知平面MCB1⊥平面BB1E

• 过B作BF⊥B1E。显然B1E为平面MCB1与平面BB1E的交线，则BF⊥平面MCB1，即有BF⊥MB1

• 过B作BG⊥MB1，连接GF。则有MB1⊥平面BGF，于是∠BGF即为二面角C-M1B-B的平面角。注意到因BF⊥平面MCB1，则BF⊥GF

• 令AM/MB=x，令MB=1，则AM=x，于是正方体棱长为1+x。利用相似、全等、勾股定理计算BG、GF（含有x的表达式）

• 在RT⊿BGF中，因∠BGF=60，则BG=2GF。由此构建关于x的方程，解之得x=√2-1